Dieses Problem konnte ich lösen, indem ich via CLI den PHP Handler für die entsprechende Domain in Plesk neu festgelegt habe. Um beispielsweise die Domain "domain.tld" auf PHP 7.3 umzustellen, kann per SSH / CLI Folgendes eingegeben werden:
plesk bin subscription -u domain.tld -php_handler_id plesk-php73-fpm
Das hat das Problem sofort gelöst. Der Domain Handler war danach wieder im Plesk GUI verfügbar und konfigurierbar.
WIchtig ist natürlich, dass auch ein tatsächlich vorhandener PHP Handler eingegeben wird. Also darauf achten, dass es dann zum Beispiel plesk-php73-fpm auch tatsächlich als verfügbaren PHP Handler gibt.